DFT je tranformace, která vrací vzorky spektra X[k] diskrétní posloupnosti x[n], což je signál, který naměříte. Spektrum diskrétní posloupnossti je původně spojité a jak jsem říkal, DFT vrací vzorky tohoto spojitého průběhu.
Základní vztah pro DFT je:
X[k] = suma(pro n=0 až N-1) x[n] * exp(-j*2*pi*n*k/N),
kde x[n] je vzorek vstupní posloupnosti, kterých máme celkem N, k je číslo spektrální čáry. k může být 0 až N-1. V tom vztahu výše vlastně násobíte vzorky signálu se vzorky komplexní exponenciály o relativní frekvenci
fr = k/N,
která může nabýt hodnot <0;1), resp. kruhové frekvenci wr = 2*pi*k/N, která může nabýt hodnot <0;2*pi). Jak tyto frekvence odpovídají reálným frekvencím? Jednoduše. Interval fr <0;1) odpovídá skutečným frekvencím freal v intervalu <0;fs), kde fs je vzorkovací frekvence signálu. Jinak řečeno:
freal = k*fs/N [Hz; Hz]
Budu li mít např. 1000 vzorků signálu získaného z AD převodníku pracujícího s fs = 48kHz, prostou aplikací DFT dostanu 1000 spektrálních čar na frekvencích k*48000/1000 Hz, pro k = 0,1,2,...999.
Hodnoty "k" však mohu volit naprosto libovolně, klidně s krokem např. 0.1 (myslím tím "k", které dosazuji vpravo do vztahu pro DFT). Dostanu pak 10 000 čar ve stejném frekvečním pásmu, tedy že mezi každými dvěma čárami původně 1000-ti bodového spektra budu mít 9 nových. Zlepší se tím "prokreslenost" spektra, neboť spojité spektrum bylo lépe "provzorkováno". V praxi se DFT počítá za pomocí FFT, kde ale hodnoty "k" musí být shodné s "n". Jediný způsob, jak zvednout "hustotu" "k" je prodloužit signál nulami na konci, tím se zvedne N, a tím se zmenší krok ve frekvenci k/N*fs. Nulové hodnoty na konci nemají vliv na průběh spektra (žádná nová informace v signálu, v sumě výše budou součiny nulových vzorků signálu s exponenciálou nulové).
Pojem frekvenční rozlišení se používá pro označení schopnosti od sebe ve spektru odlišit dva signály o velmi blízkých frekvecních. Amplitudové spektrum dvou nekonečně dlouhých sinusovek jsou teoreticky dvě čáry na jejich frekvencích. V praxi ale máme k dispozici pouze část signálu, což je vlastně nekonečný signál násobený obdélníkovou funkcí. Amplitudové spektrum obdélníku je funkce |sin(x)/x|, šířka laloků je závislá na délce signálu v čase. Čím je signál delší, tím je lalok užší. Násobení funkcí v čase se projeví ve spektru tzv. konvoluci původních spekter. Česky řečeno, každá čára sinusovky se rozplizne do své funkce|sin(x)/x| posunuté na frekvenci původní sinusovky, a ty se pak sečtou. Pak se může stát, že signály o blízkých frekvencích ve spektru uvidíte jako jedno trochu rozplizlejší |sin(x)/x|.
A tak by se dalo pokračovat donekonečna 
Podpora webu
Nahrát obrázek